Fungsi, Perbandingan, Persamaan dan Identitas TRIGONOMETRI

 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

1.Pada segitiga siku-siku berlaku perbandingan trigonometri yaitu :

1.Sinus yaitu perbandingan sisi siku-siku di depan sudut dengan sisi miringnya,

2.Cosinus yaitu perbandingan sisi siku-siku yang mengapit dengan sisi miringnya,

3.Tangen yaitu perbandingan sisi siku-siku di depan sudut dengan sisi siku-siku yang mengapit,

4. Secan yaitu perbandingan sisi miring dengan sisi siku-siku yang mengapitnya,

5. Cosecan yaitu perbandingan sisi miring dengan sisi siku-siku di depan yang mengapitnya,

6. Cotangen yaitu perbandingan sisi siku-siku yang mengapit dengan sisi siku-siku di depannya.

    2.Nilai perbandingan trigonometri sudut satu putaran (360ᵒ atau 2π)

   3.Berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut :

       4.Contoh Soal :

    Tentukan perbandingan trigonometri berikut :

 

      3.Nilai perbandingan trigonometri sudut sudut istimewa

                          Sudut istimewa adalah sudut kelipatan 30ᵒ atau 45ᵒ mulai dari interval 0ᵒ-360ᵒ.

   Kelipatan 30ᵒ yaitu 30ᵒ,60ᵒ,90ᵒ,120ᵒ,150ᵒ,180ᵒ,210ᵒ,240ᵒ,270ᵒ,300ᵒ,330ᵒ,360ᵒ

   Kelipatan 45ᵒ yaitu 45ᵒ,90ᵒ,135ᵒ,180ᵒ,225ᵒ,315ᵒ,360ᵒ

Selain sudut di atas maka nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditemukan sebagai berikut :

Contoh soal : tentukan nilai 1. cos 150ᵒ

                                              2. sin 120ᵒ

                                              3. sin 210ᵒ

                                              4. tan 203ᵒ

Pembahasan :

      4.Sudut Berelasi

·         sin (90ᵒ−α) = cos α

·         cos (90ᵒ−α) = sin α

·         tan (90ᵒ−α) = cotg α

sin (180ᵒ−α) = sin α

·         cos (180ᵒ− α) = −cos α

·         tan (180ᵒ−α) = −tan α

·         sin (180ᵒ+ α) = −sin α

·         cos (180ᵒ+ α) = −cos α

·         tan (180ᵒ+ α) = tan α

·         sin (360ᵒ−α) = −sin α / sin (−α) = −sin α

·         cos (360ᵒ−α) = cos α / cos (− α) = cos α

·         tan (360ᵒ−α) = −tan α / tan (−α) = −tan α

·         sin (α+k360ᵒ) = sin α

·         cos (α+k360ᵒ) = cos α

·         tan (α+k360ᵒ) = tan α

        5.Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri memiliki 3 bentuk

1. Bentuk Pertama

 sin x = sin α

K1 ~> x= α+k360 atau K2 ~> x=(180−α)+k360

 cos x = cos α

K1 ~> x= α+k360 atau K4 ~> x= (−α)+k360

 tan  x = tan α

K1 ~> x=α+k180

      2. Bentuk Kedua 

sin x = c

      x = arc sin c      (pada K1 atau K2 periode 360ᵒ)

cos x = c

       x = arc cos c    (K1 atau K4 periode 360ᵒ)

tan x = c

       x = arc tan c     (K1 periode 180ᵒ)

Contoh Soal :

Tentukan nilai persamaan trigonometri dari :

Untuk 0ᵒ < x < 360ᵒ

1          3.Bentuk Ketiga

Persamaan trigonometri yang bisa dibawa ke bentuk persamaan kuadrat :

ax²+bx+c=0 dimana x adalah fungsi trigonometri yaitu sin x, cos x, tan x, cotg x, cosec x, sec x.

Langkah-langkah Penyelesaian:

       1.Gunakan identitas trigonometri yang bersesuaian

       2.Bentuk persamaan kuadrat ax²+bx+c=0

       3.Tentukan akar-akar persamaan kuadrat

       4.Akar-akar berbentuk persamaan trigonometri. Sehingga akar-akarnya dapat ditentukan

       5.Penyelesaiannya adalah nilai-nilai yang masih memenuhi interval yang disediakan

 6.Identitas Trigonometri 

Dari perbandingan trigonometri 

Dari Pytagoras

·         cos² α + sin² α = 1

·         cos² α = 1−sin² α

·         sin² α = 1−Cos² α

·         tan² α = sec² α−1

·         tan² α = sec² α−1

·          sec² α−tan² α = 1

·         cotg² α+1 = cosec² α

·         cotg² α = cosec² α−1

       cosec² α−cotg² α = 1

   

   Contoh soal :

   Tentukan persamaan trigonometri dari :

   Untuk  0ᵒ ≤ x ≥ 360ᵒ

   1.       2−2 cos² x = sin x

   2.       sec² x = 1+tan x

   3.       cos² x−3 sin² x+3=0

   Penyelesaian :